数学 · 初中 · 高中 05
统计重“读数据”，概率重“算可能”。前者靠概念辨析，后者靠模型识别与计数。
| 统计量 | 定义 | 特点 |
|---|---|---|
| 平均数 | 总和 ÷ 个数 | 受极端值影响大 |
| 加权平均数 | Σ(xᵢ·wᵢ) ÷ Σwᵢ | 权可以是频数、比例或重要度 |
| 中位数 | 排序后位于中间的数（偶数取中间两数平均） | 抗极端值，反映“典型水平” |
| 众数 | 出现次数最多的数 | 可能不唯一，也可能不存在 |
| 极差 | 最大值 − 最小值 | 只反映跨度，粗糙 |
| 方差 | s² = Σ(xᵢ − x̄)² / n | 衡量波动大小，单位是原单位的平方 |
| 标准差 | s = √s² | 与原数据同单位，更直观 |
| 百分位数 | 第 p 百分位数：至少有 p% 的数据不超过它 | 中位数即第 50 百分位数 |
| 图表 | 优势 | 使用场景 |
|---|---|---|
| 条形图 | 便于比较各类别数量 | 分类数据对比 |
| 折线图 | 显示变化趋势 | 时间序列 |
| 扇形图 | 显示各部分占比 | 整体构成，须给出总量 |
| 频率分布直方图 | 显示连续数据的分布 | 纵轴为“频率/组距”，面积之和为 1 |
| 茎叶图 | 保留原始数据 | 小样本，便于看分布与中位数 |
| 箱线图 | 显示中位数、四分位数与异常值 | 比较多组数据分布 |
| 知识点 | 公式／性质 | 易错 |
|---|---|---|
| 古典概型 | P(A) = A 包含的基本事件数 ÷ 总基本事件数 | 须满足“有限、等可能” |
| 几何概型 | P(A) = 构成事件 A 的测度 ÷ 总测度 | 长度、面积、体积均可为测度 |
| 互斥事件 | P(A∪B) = P(A) + P(B) | 不能同时发生 |
| 对立事件 | P(A) + P(Ā) = 1 | “至少一个”常用对立事件求 |
| 相互独立 | P(AB) = P(A)P(B) | 独立 ≠ 互斥，二者常被混淆 |
| 条件概率 | P(B|A) = P(AB) / P(A) | 分母是“已知条件”的概率 |
| 全概率公式 | P(B) = ΣP(Aᵢ)P(B|Aᵢ) | 先完备划分，再加权 |
| 知识点 | 公式 | 使用判断 |
|---|---|---|
| 分类加法 | N = m₁ + m₂ + … + mₙ | 各类方法互不重叠，完成同一件事 |
| 分步乘法 | N = m₁ × m₂ × … × mₙ | 各步都不能省略 |
| 排列 | A(n,m) = n! / (n−m)! | 有顺序要求 |
| 组合 | C(n,m) = n! / [m!(n−m)!] | 无顺序要求 |
| 组合数性质 | C(n,m) = C(n,n−m)；C(n,m) = C(n−1,m−1) + C(n−1,m) | 对称性与递推 |
| 二项式定理 | (a+b)ⁿ = ΣC(n,k)a^(n−k)b^k | 通项 T(k+1) = C(n,k)a^(n−k)b^k |
| 相邻与不相邻 | 相邻用“捆绑法”，不相邻用“插空法” | 先排其他元素再插 |
| 至少至多 | 优先用“间接法”：总数 − 对立情况 | 分类讨论易漏项 |
| 知识点 | 公式／结论 | 要点 |
|---|---|---|
| 离散型期望 | E(X) = Σxᵢpᵢ | 反映平均水平 |
| 方差 | D(X) = Σ(xᵢ − E(X))²pᵢ | D(aX+b) = a²D(X) |
| 二项分布 | X ~ B(n,p)，E(X) = np，D(X) = np(1−p) | n 次独立重复试验 |
| 超几何分布 | 不放回抽样 | 与二项分布的区别在“是否放回” |
| 正态分布 | X ~ N(μ, σ²)，关于 x = μ 对称 | 3σ 原则：约 99.7% 落在 μ±3σ |
| 回归直线 | ŷ = bx + a，过样本中心点 (x̄, ȳ) | b 的符号表示正负相关 |
| 相关系数 | r ∈ [−1, 1]，|r| 越接近 1 线性相关越强 | r > 0 正相关 |
| 独立性检验 | K² 统计量，与临界值比较 | 结论为“有 …% 的把握认为有关” |
易混提醒
“频率”与“概率”：频率是试验结果，概率是理论值，大数定律把两者连接起来。“独立”与“互斥”：独立是两个事件互不影响，可同时发生；互斥是不能同时发生，一般不独立（除非有一个概率为 0）。
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