数学 · 初中 · 高中 03
函数是中学数学的主线：所有函数题都在问三件事——解析式、图象性质、与方程不等式的联系。
| 知识点 | 内容 | 要点 |
|---|---|---|
| 三要素 | 定义域、值域、对应法则 | 定义域优先：先看分母、根号、对数真数 |
| 定义域常见限制 | 分母 ≠ 0；偶次根号内 ≥ 0；对数真数 > 0；tan 的角 ≠ π/2 + kπ | 多个限制取交集 |
| 单调性定义 | x₁ < x₂ 时 f(x₁) < f(x₂) 为增函数 | 证明须用定义或导数，不能看图象“感觉” |
| 奇偶性 | f(−x) = −f(x) 奇；f(−x) = f(x) 偶 | 前提是定义域关于原点对称 |
| 周期性 | f(x+T) = f(x)，最小正周期 T | sin、cos 周期 2π，tan 周期 π |
| 平移变换 | y = f(x−a) 右移 a；y = f(x)+b 上移 b | “左加右减”作用于 x 本身 |
| 伸缩变换 | y = f(ωx) 横向压缩为 1/ω；y = Af(x) 纵向拉伸 A 倍 | 先平移后伸缩，或反之结果不同 |
| 对称变换 | y = −f(x) 关于 x 轴对称；y = f(−x) 关于 y 轴对称；y = −f(−x) 关于原点对称 | 绝对值：y = |f(x)| 把下方翻上 |
| 项目 | 结论 | 说明 |
|---|---|---|
| 图象 | 一条直线 | k 称斜率，b 为纵截距 |
| k 的几何意义 | k > 0 上升，k < 0 下降 | |k| 越大越陡 |
| 与坐标轴交点 | 与 y 轴交于 (0, b)；与 x 轴交于 (−b/k, 0) | 求面积常用这两个点 |
| 平行条件 | k₁ = k₂ 且 b₁ ≠ b₂ | 垂直条件 k₁k₂ = −1 |
| 正比例函数 | b = 0 时 y = kx，过原点 | 是特殊的一次函数 |
| 待定系数法 | 两点确定 k 与 b | 列方程组求解 |
| 与方程、不等式的关系 | kx + b = 0 的解是交点横坐标；kx + b > 0 的解集看图象在 x 轴上方部分 | “数形结合”的典型入口 |
| 项目 | 结论 | 说明 |
|---|---|---|
| 定义域 | x ≠ 0 | 图象与坐标轴永不相交 |
| 图象 | 双曲线，两支关于原点对称 | k > 0 在一、三象限；k < 0 在二、四象限 |
| 单调性 | k > 0 时每一支上递减 | 必须说明“在每一象限内”，不能跨支比较 |
| k 的几何意义 | 图象上任意点向两轴作垂线，矩形面积 = |k| | 三角形面积为 |k|/2 |
| 与一次函数交点 | 联立得一元二次方程，交点数由 Δ 决定 | 对称性：两交点关于原点对称 |
| 实际应用 | 路程一定时 v 与 t；压强与受力面积 | 先判断是否成反比例 |
| 三种表达式 | 形式 | 适用场景 |
|---|---|---|
| 一般式 | y = ax² + bx + c（a ≠ 0） | 已知三点 |
| 顶点式 | y = a(x − h)² + k | 已知顶点或最值 |
| 交点式 | y = a(x − x₁)(x − x₂) | 已知与 x 轴两交点 |
| 性质 | 结论 |
|---|---|
| 开口 | a > 0 向上，a < 0 向下；|a| 越大越窄 |
| 对称轴 | x = −b/(2a) |
| 顶点坐标 | (−b/2a, (4ac − b²)/4a) |
| 最值 | a > 0 时最小值为顶点纵坐标；a < 0 时最大值为顶点纵坐标 |
| 与 x 轴交点 | Δ = b² − 4ac：Δ>0 两交点，Δ=0 相切，Δ<0 无交点 |
| 增减性 | a > 0 时对称轴左侧递减、右侧递增 |
| 区间最值 | 比较顶点与两端点函数值 |
| 恒成立问题 | ax²+bx+c > 0 对任意 x 成立 ⇔ a > 0 且 Δ < 0 |
| 知识点 | 公式／性质 | 易错 |
|---|---|---|
| 指数运算法则 | a^m·a^n = a^(m+n)；(a^m)^n = a^(mn)；(ab)^n = a^n b^n | a > 0 且 a ≠ 1 |
| 分数指数幂 | a^(m/n) = ⁿ√(a^m) | 底数为负时须谨慎 |
| 指数函数图象 | a > 1 递增，0 < a < 1 递减，恒过 (0,1) | 值域为 (0, +∞)，永不为 0 |
| 对数定义 | a^x = N ⇔ x = logₐN | 真数 N > 0，底数 a > 0 且 ≠ 1 |
| 对数运算 | logₐ(MN) = logₐM + logₐN；logₐ(M/N) = logₐM − logₐN；logₐM^n = n·logₐM | 没有 logₐ(M+N) 的展开公式 |
| 换底公式 | logₐb = log_c b / log_c a | 常用 ln 或 lg 换底 |
| 对数函数图象 | 恒过 (1,0)；a > 1 递增，0 < a < 1 递减 | 与指数函数互为反函数，关于 y = x 对称 |
| 比较大小 | 同底看单调性，同真数看图象，异底异真数找中间量 0 或 1 | 中间量法最稳 |
| 知识点 | 公式 | 备注 |
|---|---|---|
| 同角关系 | sin²α + cos²α = 1；tanα = sinα / cosα | 知一求二，注意象限定符号 |
| 诱导公式 | sin(π−α) = sinα；cos(π−α) = −cosα；sin(π/2−α) = cosα | 口诀：奇变偶不变，符号看象限 |
| 和差角公式 | sin(α±β) = sinαcosβ ± cosαsinβ；cos(α±β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ | 符号易错 |
| 二倍角公式 | sin2α = 2sinαcosα；cos2α = 1 − 2sin²α | 降幂与升幂都用它 |
| y = Asin(ωx+φ) | 振幅 A，周期 2π/ω，初相 φ | 五点法作图 |
| 导数定义与几何意义 | f′(x₀) 为切线斜率 | 切线方程 y − f(x₀) = f′(x₀)(x − x₀) |
| 常见导数 | (xⁿ)′ = nx^(n−1)；(sinx)′ = cosx；(eˣ)′ = eˣ；(lnx)′ = 1/x | 基本公式须背熟 |
| 单调性判定 | f′(x) > 0 递增；f′(x) < 0 递减 | 求极值先解 f′(x) = 0 |
解题主线
函数题只有三个提问方向：求解析式（待定系数法）、研究性质（单调性、奇偶性、最值）、与方程不等式互化。看到“恒成立”“有解”“交点个数”，第一反应应是分离参数或转化为最值问题。
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