数学 · 初中 02
代数的一切变形都建立在这三件事上：因式分解、配方、判别式。掌握它们，方程与不等式就只是套用。
| 知识点 | 内容 | 易错 |
|---|---|---|
| 实数分类 | 有理数（整数、分数）与无理数（无限不循环小数） | π/2、√2 是无理数；0.101001… 也是无理数 |
| 绝对值 | |a| = a（a≥0）；−a（a<0） | |a| 表示距离，恒非负 |
| 平方根与算术平方根 | (±3)² = 9，故 9 的平方根为 ±3；算术平方根为 3 | √9 = 3，不是 ±3 |
| 立方根 | ∛a 唯一，符号与原数相同 | ∛(−8) = −2 |
| 二次根式有意义的条件 | 被开方数 ≥ 0 | 分母含根号时还需 ≠ 0 |
| √(a²) 的化简 | √(a²) = |a| | 不能直接写成 a |
| 根式乘除 | √a·√b = √(ab)；√a ÷ √b = √(a/b)（a,b ≥ 0） | 加减须先化为最简根式再合并同类根式 |
| 分母有理化 | 1/√2 = √2/2；1/(√3+1) = (√3−1)/2 | 乘共轭因式 |
| 公式／法则 | 内容 | 用途 |
|---|---|---|
| 同底数幂相乘 | a^m · a^n = a^(m+n) | 指数相加，底数不变 |
| 幂的乘方 | (a^m)^n = a^(mn) | 指数相乘 |
| 积的乘方 | (ab)^n = a^n b^n | 分配到底 |
| 同底数幂相除 | a^m ÷ a^n = a^(m−n) | a ≠ 0 |
| 平方差公式 | (a+b)(a−b) = a² − b² | 简化计算：101 × 99 = 100² − 1 |
| 完全平方公式 | (a±b)² = a² ± 2ab + b² | 配方与因式分解的基础 |
| 三项完全平方 | (a+b+c)² = a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca | 拓展题型 |
| 立方和与立方差 | a³±b³ = (a±b)(a²∓ab+b²) | 高中常用 |
| 单项式乘多项式 | m(a+b) = ma + mb | 逐项相乘，注意符号 |
| 多项式乘多项式 | (a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd | 不漏项、不重项 |
顺序固定：一提（公因式）、二套（公式）、三分组、四十字相乘。分解到不能再分为止。
| 方法 | 适用特征 | 示例 |
|---|---|---|
| 提公因式 | 各项有公共因式 | 6a²b − 9ab² = 3ab(2a − 3b) |
| 平方差 | 两项、皆为平方、相减 | x² − 9 = (x+3)(x−3) |
| 完全平方 | 三项、首尾为平方、中间为 2 倍积 | x² + 6x + 9 = (x+3)² |
| 分组分解 | 四项或以上，可两两分组 | ax + ay + bx + by = (a+b)(x+y) |
| 十字相乘 | 二次三项式 x² + px + q | x² + 5x + 6 = (x+2)(x+3) |
| 拆项添项 | 无明显结构，需配凑 | x⁴ + 4 = (x²+2)² − 4x² = (x²+2x+2)(x²−2x+2) |
| 知识点 | 规则 | 易错 |
|---|---|---|
| 有意义的条件 | 分母 ≠ 0 | 值为 0 需分子 = 0 且分母 ≠ 0 |
| 基本性质 | 分子分母同乘或同除不为 0 的整式，值不变 | 符号变化：−a/b = a/(−b) = −(a/b) |
| 约分 | 约去公因式，须先因式分解 | 只约“因式”，不能约“项” |
| 通分 | 取最简公分母 | 公分母含所有因式的最高次幂 |
| 分式乘除 | 乘法分子乘分子；除法乘倒数 | 先分解再约分，效率最高 |
| 分式加减 | 同分母分子加减；异分母先通分 | 分子是多项式时加减要加括号 |
| 分式方程 | 去分母化为整式方程，必须验根 | 增根来自使分母为 0 的解 |
| 方程类型 | 解法 | 关键点 |
|---|---|---|
| 一元一次方程 | 去分母 → 去括号 → 移项 → 合并 → 系数化 1 | 移项要变号 |
| 二元一次方程组 | 代入消元或加减消元 | 系数成倍数时用加减更快 |
| 三元一次方程组 | 先消一元，化为二元 | 选择系数最简单的元消去 |
| 分式方程 | 乘最简公分母化为整式方程 | 验根，排除增根 |
| 一元二次：直接开方 | (x+m)² = n（n ≥ 0） | 先化为完全平方形式 |
| 一元二次：配方 | x² + bx = (x + b/2)² − b²/4 | 二次项系数须先化为 1 |
| 一元二次：公式法 | x = [−b ± √(b²−4ac)] / 2a | Δ = b² − 4ac：Δ>0 两解，Δ=0 重根，Δ<0 无实根 |
| 一元二次：因式分解 | (x−x₁)(x−x₂) = 0 | 优先尝试，速度最快 |
| 根的判别式应用 | Δ ≥ 0 有实根；Δ = 0 有两个相等实根 | “有两个实数根”含相等情形 |
| 知识点 | 内容 | 易错 |
|---|---|---|
| 不等式性质 | 两边同乘或同除负数，不等号方向改变 | 最常忘的一步 |
| 一元一次不等式组 | 分别求解，取公共部分：同大取大、同小取小、大小小大取中间、大大小小无解 | 画数轴判断更稳 |
| 一元二次不等式 | 化为 ax²+bx+c>0（a>0），按两根分区间 | “大于取两边，小于取中间” |
| 分式不等式 | 移项通分，转化为分子分母同号或异号 | 不能直接乘分母（正负未知） |
| 韦达定理 | x₁ + x₂ = −b/a；x₁x₂ = c/a | 前提是 Δ ≥ 0 |
| 韦达定理的变形 | x₁² + x₂² = (x₁+x₂)² − 2x₁x₂；1/x₁ + 1/x₂ = (x₁+x₂)/(x₁x₂) | 整体代入，不必求根 |
| 含参方程讨论 | 按二次项系数是否为 0 分类 | “方程”未说明次数时须讨论 |
三件基本功
代数题的成败取决于三件事：因式分解（能否把式子拆开）、配方（能否把二次式化成顶点式）、判别式（能否判断根的个数）。这三项练熟，方程与不等式基本不丢分。
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