数学 · 全学段 04
几何的解题链条是固定的：识图 → 找等量关系（全等、相似、勾股）→ 代数化计算。
| 知识点 | 结论 | 用途 |
|---|---|---|
| 对顶角 | 对顶角相等 | 证角相等的最快入口 |
| 平行线判定 | 同位角相等、内错角相等、同旁内角互补 ⇒ 两直线平行 | 由角推线 |
| 平行线性质 | 两直线平行 ⇒ 同位角相等、内错角相等、同旁内角互补 | 由线推角，注意与判定方向相反 |
| 垂直平分线 | 线上任意点到线段两端距离相等 | 外心的构造依据 |
| 角平分线 | 线上任意点到角两边距离相等 | 内心的构造依据 |
| 三角形外角 | 等于不相邻两内角之和 | 求角、证不等关系的常用工具 |
| 知识点 | 内容 | 易错 |
|---|---|---|
| 内角和 | 180°；外角和 360° | 多边形内角和 (n−2)×180° |
| 三边关系 | 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 | 判断能否构成三角形时只需检验较短两边之和 |
| 全等判定 | SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形） | SSA 不能判定全等 |
| 相似判定 | 两角对应相等；两边成比例且夹角相等；三边成比例 | “两边成比例且其中一边的对角相等”不成立 |
| 相似性质 | 周长比 = 相似比；面积比 = 相似比的平方 | 体积比为立方 |
| 勾股定理 | a² + b² = c²（c 为斜边） | 逆定理可用于判定直角 |
| 中位线 | 平行于第三边且等于其一半 | 面积被中位线分成 1 : 3 |
| 重心 | 三条中线交点，分中线为 2 : 1 | 重心坐标为三顶点坐标的平均值 |
| 外心 | 三边垂直平分线交点，到三顶点等距 | 锐角在形内，直角在斜边中点，钝角在形外 |
| 内心 | 三条角平分线交点，到三边等距 | 内切圆半径 r = 面积 ÷ 半周长 |
| 图形 | 性质 | 判定 |
|---|---|---|
| 平行四边形 | 对边平行且相等；对角相等；对角线互相平分 | 两组对边分别平行／一组对边平行且相等／对角线互相平分 |
| 矩形 | 四个角都是直角；对角线相等 | 有一个角是直角的平行四边形；对角线相等的平行四边形 |
| 菱形 | 四边相等；对角线互相垂直且平分每组对角 | 邻边相等的平行四边形；对角线垂直的平行四边形 |
| 正方形 | 兼具矩形与菱形全部性质 | 邻边相等的矩形；有一个角是直角的菱形 |
| 梯形 | 一组对边平行，另一组不平行 | 等腰梯形：同一底上两角相等，对角线相等 |
| 中位线（梯形） | 等于上下底之和的一半 | 常配合“平移腰”“作高”辅助线 |
| 知识点 | 结论 | 备注 |
|---|---|---|
| 垂径定理 | 垂直于弦的直径平分弦及弦所对的弧 | 常作“过圆心作弦的垂线” |
| 圆周角 | 同弧所对的圆周角等于圆心角的一半 | 直径所对圆周角为 90° |
| 圆内接四边形 | 对角互补 | 外角等于内对角 |
| 切线判定 | 过半径外端且垂直于半径的直线是切线 | 有切点连半径，无切点作垂线 |
| 切线性质 | 切线垂直于过切点的半径 | 切线长定理：两切线长相等 |
| 弧长 | l = nπr / 180 | n 为圆心角度数 |
| 扇形面积 | S = nπr² / 360 = ½lr | 与三角形面积公式形式对应 |
| 圆锥侧面展开 | 扇形弧长 = 底面周长；侧面积 = πrl | l 为母线长 |
| 知识点 | 结论 | 方法 |
|---|---|---|
| 线面平行判定 | 平面外一条直线与平面内一条直线平行 | 找中位线或平行四边形 |
| 线面垂直判定 | 直线垂直于平面内两条相交直线 | 关键在“相交” |
| 面面平行与垂直 | 一个平面内两条相交直线分别平行于另一平面 ⇒ 面面平行 | 面面垂直 ⇒ 线面垂直 |
| 空间角 | 异面直线角（0°–90°）、线面角（0°–90°）、二面角（0°–180°） | 向量法：cosθ = |a·b|/(|a||b|) |
| 体积 | V柱 = Sh；V锥 = ⅓Sh；V球 = 4/3πR³ | 等体积法求点到面距离 |
| 表面积 | S球 = 4πR²；S锥 = 底面积 + 侧面积 | 展开图法 |
| 三视图 | 长对正、高平齐、宽相等 | 由三视图还原几何体 |
| 外接球 | 补形为长方体，体对角线为直径 | 2R = √(a²+b²+c²) |
| 知识点 | 公式 | 要点 |
|---|---|---|
| 斜率 | k = (y₂−y₁)/(x₂−x₁) | x₁ = x₂ 时斜率不存在 |
| 直线方程 | 点斜式、斜截式、两点式、一般式 Ax+By+C=0 | 注意斜率不存在的情形 |
| 距离公式 | 点到直线：|Ax₀+By₀+C| / √(A²+B²) | 平行线间距离同式 |
| 圆的方程 | (x−a)² + (y−b)² = r²；x²+y²+Dx+Ey+F=0 | 后者须 D²+E²−4F > 0 |
| 直线与圆 | 比较圆心距 d 与 r；弦长 = 2√(r² − d²) | 几何法优于代数法 |
| 椭圆 | x²/a² + y²/b² = 1，c² = a² − b²，e = c/a < 1 | 焦点在长轴上 |
| 双曲线 | x²/a² − y²/b² = 1，c² = a² + b²，e > 1 | 渐近线 y = ±(b/a)x |
| 抛物线 | y² = 2px，焦点 (p/2, 0)，准线 x = −p/2 | 定义：到焦点与准线等距 |
| 正弦定理 | a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R | 已知两角一边或两边及一边对角 |
| 余弦定理 | c² = a² + b² − 2ab·cosC | 已知三边或两边及夹角 |
辅助线原则
几何辅助线不是灵感，而是套路：见中点想中位线或倍长中线；见角平分线向两边作垂线；见等腰作底边高；见圆有切点连半径、有弦作垂径；求线段比优先构造相似。每题只有 1–2 条主线，试错成本很低。
本模块共 6 节。检验掌握程度：
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